比例・反比例のグラフ（説明ページ）

座標

２つの数直線を組み合わせた以下のような図を座標平面と言います。

座標の使い方を学ぶ前に、覚えなくてはならない単語がたくさんあるため、まずは以下を覚えてください。

この座標平面を用いることで、変数ｘとｙの組み合わせを表すことが出来るようになります。
例えば、ｘ＝３のときｙ＝２という関係を表したければ、以下のように描けます。

ｘ＝３でｙ＝２なので、ｘ軸が３でｙ軸が２になる点が見つかり、この点のことをｘ＝３，ｙ＝２の座標と言います。

また、ｘの座標のことをｘ座標、ｙの座標のことをｙ座標と言います。（今回はｘ座標が３、ｙ座標が２）

なお、座標を毎回「ｘ＝３，ｙ＝２」と書くのは面倒なので、数字の組み合わせで（3, 2）と表します。

比例のグラフ

座標平面を用いると比例の関係を目に見える形で表現することが出来ます。

例えば、y = 2 x という関数では、ｘとｙは比例の関係にあります。

• ｘが－2の時・・・ｙは－4
• ｘが－1の時・・・ｙは－２
• ｘが0の時・・・ｙは0
• ｘが1の時・・・ｙは２
• ｘが2の時・・・ｙは４

このｘとｙの組み合わせを座標平面上に座標として表してみると、以下のようになります。

この赤い点を結ぶと、以下のような直線が浮かび上がってきますが、これが y = 2 x のグラフです。

このように、関数 y = ax と表される比例のグラフは、原点を通る直線で表すことが出来ます。

もう一つ例を見てみましょう。
y = ‐x という関数では、ｘとｙは比例の関係にあります。

• ｘが－2の時・・・ｙは２
• ｘが－1の時・・・ｙは１
• ｘが0の時・・・ｙは0
• ｘが1の時・・・ｙは１
• ｘが2の時・・・ｙは２

このｘとｙの組み合わせを座標平面上に座標として表して、グラフをかいてみると、以下のようになります。

今回も原点を通る直線で表すことが出来ることが確認できましたが、先ほどと直線の向きが違い、右下がりになっていることがわかると思います。

実は、 y = ax のａが０より大きい場合は右上がり、ａが０より小さい場合は右下がりの直線になるのです。

反比例のグラフ

次は、反比例のグラフもかいてみましょう。
ｙ＝3xという関数では、ｘとｙは反比例の関係にあります。

• ｘが－3の時・・・ｙは－33＝－1
• ｘが－2の時・・・ｙは－32＝－1.5
• ｘが－1の時・・・ｙは－31＝－3
• ｘが0の時・・・ｙは30だが、分数の分母は0にならないので、xは0にならない
• ｘが1の時・・・ｙは31＝3
• ｘが2の時・・・ｙは32＝1.5
• ｘが3の時・・・ｙは33＝1

このｘとｙの組み合わせを座標平面上に座標として表して、グラフをかいてみると、以下のようになります。

このように、反比例のグラフは曲がった線になります。
また、このような形の曲線のことを数学用語で双曲線と言います。

もう一つ例を見てみましょう。
ｙ＝－3xという関数では、ｘとｙは反比例の関係にあります。

• ｘが－3の時・・・ｙは33＝1
• ｘが－2の時・・・ｙは32＝1.5
• ｘが－1の時・・・ｙは31＝3
• ｘが0の時・・・ｙは30だが、分数の分母は0にならないので、xは0にならない
• ｘが1の時・・・ｙは－31＝－3
• ｘが2の時・・・ｙは－32＝－1.5
• ｘが3の時・・・ｙは－33＝－1

このｘとｙの組み合わせを座標平面上に座標として表して、グラフをかいてみると、以下のようば双曲線になります。

今回も双曲線で表すことが出来ましたが、先ほどと双曲線の位置が異なることがわかると思います。

実は、ｙ＝axのａが０より大きいか小さいかにより双曲線の向きが変わるのです。

とりあえずこれだけ覚えて！

• 反比例のグラフは以下のような見た目をしている。