一元一次方程式の解き方（説明ページ）
概要
一元一次方程式を解くには、以下の性質を使って式を変形し、「文字＝数字」の形を作り出す必要がある。
① a＝b ならば、a＋c＝b＋c
② a＝b ならば、a−c＝b−c
③ a＝b ならば、ac＝bc
④ a＝b かつ c ≠０ならば a÷c = b÷c
復習
一元一次方程式とはなにか、そして方程式を解くとは何か、をまず知っておく必要があるので、忘れている人のために簡単に復習します。
一元一次方程式
方程式の中でも、1種類の文字しか登場せず、また、累乗（x2やa3）が登場しないもののことを一元一次方程式といいます。
※一元一次方程式の「一元」は「1種類の文字しか登場しない」ということを、「一次」は「3aやx+yなど、累乗（x2や a3）が登場しない」ということを意味します。
例えば、 ２a－４=0 は1種類の文字（a）しか登場せず、累乗も登場しないので一元一次方程式です。
方程式を解くとは
方程式が成り立つように、文字に入る値を見つけることを、方程式を解くといいます。
また、方程式を成り立たせる文字の値のことを、方程式の解といいます。
例えば、２a－４=0 という一元一次方程式の文字 a に何を入れたら式が成り立つかを考えると、
a=0を代入：２×０－４＝０は成り立たないので×
a=1を代入：２×１－４＝０は成り立たないので×
a=２を代入：２×２－４＝０は成り立つので〇
ということで、２a－４=0 という一元一次方程式を解くと、解は a=2である、ということになります。
一元一次方程式を解く
それでは、一元一次方程式の解き方を勉強していきましょう。
一元一次方程式を解くには、以下の性質を使って式を変形し、「文字＝数字」の形を作り出す必要があります。
① a＝b ならば、a＋c＝b＋c
② a＝b ならば、a−c＝b−c
③ a＝b ならば、a×c＝b×c
④ a＝b かつ c ≠０ならば a÷c = b÷c
式で書いているせいで少し難しく見えるかもしれませんが、簡単に言ってしまうと
「同じ数に、同じ数を足しても・引いても・かけても・わっても、同じ数になる」という性質です。
一つ一つ見ていきましょう。
① a＝b ならば、a＋c＝b＋c
「同じ数に、同じ数を足しても、同じ数になる」という性質です。
この性質を使ってどのように一元一次方程式を解くかを、次の方程式を用いて説明します。
x－6=０
考え方
x－6=０ を解く
この式は、x－6は０と等しい、つまり、「x－6と０は同じ数である」という意味である。
そして、x－6と０は同じ数なのであれば、「x－6に６を足した数と０に６を足した数は同じ数である」という性質が成り立つ。
※「同じ数に、同じ数を足しても、同じ数になる」であるため
実際に、「x－6に６を足した数」と「０に６を足した数」を計算してみると
● x－6に６を足した数：x－6＋６＝x
● ０に６を足した数：０＋６=６
つまり、「xと６が同じ数である」という形に変形できるので、x=６が解です。
解：x=６
式をまとめると
x－6=０
x－6＋６=０＋６
x =６
と変形できることになります。
ここで、最初の式「x－6=０」と最後の式「x=６」を見比べていただきたいのですが、「左辺にあった－6が右辺に移動した」形になっています。
実はこのように、項を反対側に符号を変えて移動させることが出来るのです。
このことを、移項といいます。
とりあえずこれだけ覚えて！
- 項を反対側に符号を変えて移動させることが出来る。このことを移項という。
② a＝b ならば、a−c＝b−c
「同じ数から、同じ数を引いても、同じ数になる」という性質です。
この性質を使ってどのように一元一次方程式を解くかを、次の方程式を用いて説明します。
x＋３=６
考え方
x＋３=６ を解く
この式は、x＋3は６と等しい、つまり、「x＋3と６は同じ数である」という意味である。
そして、x＋3と６は同じ数なのであれば、「x＋3から３を引いた数と６から３を引いた数は同じ数である」という性質が成り立つ。
※「同じ数から、同じ数を引いても、同じ数になる」であるため
実際に、「x＋3から３を引いた数」と「６から３を引いた数」を計算してみると
● x＋3から３を引いた数：x＋３－３＝x
● ６から３を引いた数：６－３=3
つまり、「xと3が同じ数である」という形に変形できるので、x=３が解です。
解：x=３
式をまとめると
x＋３=６
x＋３－３=６－３
x =3
と変形できることになります。
実は、この式も移項の性質を使って式変形することが出来ます。
項を反対側に符号を変えて移動させることが出来るという移項するときの性質を確認することが出来ました。
③ a＝b ならば、a×c＝b×c
「同じ数に、同じ数をかけても、同じ数になる」という性質です。
この性質を使ってどのように一元一次方程式を解くかを、次の方程式を用いて説明します。
考え方はこれまでと同じです。
考え方
そして、 x３ と ２ は同じ数なのであれば、「 x３ に３をかけた数と ２ に３をかけた数は同じ数である」という性質が成り立つ。」
※「同じ数に、同じ数をかけても、同じ数になる」であるため
●x３ に３をかけた数： x３ ×３＝x
●２ に３をかけた数は同じ数： ２×３＝６
つまり、「xと６が同じ数である」という形に変形できるので、x=６が解です。
解：x=６
式をまとめると
x３ =２x３×３ =２×３
x =6
と変形できることになります。
④ a＝b かつ c ≠０ならば a÷c = b÷c
「同じ数を、同じ数でわっても、同じ数になる」という性質です。
なお、 c ≠０ならば という条件が付いているのは、数字を0でわることが出来ないからです。
この性質を使ってどのように一元一次方程式を解くかを、次の方程式を用いて説明します。
考え方はこれまでと同じです。
3ｘ=６
考え方
３x=６ を解く
この式は、３xは６と等しい、つまり、「３xと６は同じ数である」という意味である。
そして、３xと６は同じ数なのであれば、「３xを３でわった数と６を３でわった数は同じ数である」という性質が成り立つ。
※「同じ数を、同じ数でわっても、同じ数になる」であるため
実際に、「３xを３でわった数」と「６を３でわった数」を計算してみると
● ３xを３でわった数：3x ÷３＝x
● ６を３でわった数：６÷３=２
つまり、「xと２が同じ数である」という形に変形できるので、x=２が解です。
解：x=２
式をまとめると
３x=６
３x × 13 ＝ ６ × 13x =２
と変形できることになります。
いかがだったでしょうか？
練習してなれるしかないのでとりあえず以下をおぼえて、練習問題で練習していきましょう。
とりあえずこれだけ覚えて！
- 一元一次方程式を解くには、「同じ数に、同じ数を足しても・引いても・かけても・わっても、同じ数になる」という性質を使って式を変形し、「文字＝数字」の形を作り出す必要がある。
練習問題１（問題）
次の方程式を解きなさい。
問題Ａ：x－6＝3問題Ｂ：x＋４＝5
問題Ｃ：x5 =２
問題Ｄ：４x＝８
練習問題１（解説）
問題Ａ
x－6＝３
この式は、x－6は３と等しい、つまり、「x－6と３は同じ数である」という意味である。
そして、x－6と３は同じ数なのであれば、「x－6に６を足した数と３に６を足した数は同じ数である」という性質が成り立つ。
※「同じ数に、同じ数を足しても、同じ数になる」であるため
実際に、「x－6に６を足した数」と「３に６を足した数」を計算してみると
● x－6に６を足した数：x－6＋６＝x
● ３に６を足した数：３＋６=９
つまり、「xと９が同じ数である」という形に変形できるので、x=９が解です。
解：x=９
問題Ｂ
x＋４＝５
この式は、x＋４は５と等しい、つまり、「x＋４と５は同じ数である」という意味である。
そして、x＋４と５は同じ数なのであれば、「x＋４から４を引いた数と５から４を引いた数は同じ数である」という性質が成り立つ。
※「同じ数から、同じ数を引いても、同じ数になる」であるため
実際に、「x＋４から４を引いた数」と「５から４を引いた数」を計算してみると
● x＋４から４を引いた数：x＋４－４＝x
● ５から４を引いた数：５－４=１
つまり、「xと１が同じ数である」という形に変形できるので、x=１が解です。
解：x=１
問題Ｃ
そして、 x５ と ２ は同じ数なのであれば、「 x５ に５をかけた数と ２ に５をかけた数は同じ数である」という性質が成り立つ。」
※「同じ数に、同じ数をかけても、同じ数になる」であるため
●x５ に５をかけた数： x５ ×５＝x
●２ に５をかけた数は同じ数： ２×５＝10
つまり、「xと10が同じ数である」という形に変形できるので、x=10が解です。
解：x=10
問題Ｄ
４x=８ を解く
この式は、４xは８と等しい、つまり、「４xと８は同じ数である」という意味である。
そして、４xと８は同じ数なのであれば、「４xを４でわった数と８を４でわった数は同じ数である」という性質が成り立つ。
※「同じ数を、同じ数でわっても、同じ数になる」であるため
実際に、「４xを４でわった数」と「８を４でわった数」を計算してみると
● ４xを４でわった数：４x ÷４＝x
● ８を４でわった数：８÷４=２
つまり、「xと２が同じ数である」という形に変形できるので、x=２が解です。
解：x=２